Platónská tělesa

6. srpna 2013 v 20:32 | Mlok |  Matematika
Platónská tělesa, nebo taky tělesa dokonalá. Lidé je už od pradávných dob uctívali a obdivovali. Obecná definice zní pravidelný mnohostěn (polyedr) v prostoru. Dále platí, že z každého vrcholu vychází stejný počet hran a všechny stěny tvoří pravidelný n-úhelník. Takže aby bylo těleso platónské (pojmenována jsou po řeckém filosofovi Platónovi, který je objevil), musí se, velmi zjednodušeně, skládat ze stejných úhelníků. Všechny strany musí být stejné a všechny rohy musí být stejné. V celém vesmíru takovýchto těles existuje přesně pět.



Tetraedr (čtyřstěn) - 4 stěny, 4 vrcholy
Oktaedr (osmistěn) - 8 stěn, 6 vrcholů
Hexaedr (krychle) - 6 stěn, 8 vrcholů
Dodekaedr (dvanáctistěn) - 12 stěn, 20 vrcholů
Ikosaedr (dvacetistěn) - 20 stěn, 12 vrcholů

Sítě těles a princip skládání

Na obrázku níže můžete vidět, takzvané sítě všech pěti těles. Představte si, že chcete nějaké těleso složit z papíru. Síť tělesa je to, co na papír nakreslíte. Šrafovaně jsem udělala záložky, kterými pak jde těleso slepit. Čáry okolo naznačují, které strany budou ve výsledku u sebe.

Proč jen pět?

Možná vás napadlo - proč jich není víc než pět? Existuje přece nekonečný počet různých pravidelných úhelníků! Zde je moje, trochu krkolomné, ale snad pochopitelné, vysvětlení.
Začneme u trojúhelníku jako u nejjednoduššího úhelníku (má tři strany). Položíme vedle sebe dva trojúhelníky (na růžovém schématu nahoře, první obrázek, trojúhelníky 1 a 2) a pokusíme-li se spjit jejich hrany, je jasné, že z toho těleso nevznikne, je to prostě pořád 2D. Když se ale přidá trojúhelník tři, už nám vzniká trojrozměrný objekt - stačí přidat čtvrtý trojůhelník jako základnu a vznikne tetraeder, nejjednodušší pravidelný polyedr. Z trojúhelníků je složen také oktaeder (čtyři trojúhelníky položené k sobě točivě do středu tvoří jeho základ) a dále ikosaeder, jehož základ je pět trojůhelníků v řadě. Co se ale stane, pokusíme-li se položit šestý trojůhelník? Obrazes se uzavře do dvojrozměrného šestiúhelníku - není tedy možné tvořit další trojrozměrné objekty.
Úplně stejně to funguje i u čtverce - dva čtverce objekt nedají, tři čtverce tvoří krychli, ze čtyř čtverců je opět placka. Pětiúhelníky si můžete doplnit sami podle stejného schématu (dodekaeder). A dostáváme se k šestiúhelníku, zde už minimální počet obrazců na vytvoření trojrozměrného tělesa, tedy tři, tvoří opět dvojrozměrný obraz. Stejně tomu je u všech pravidelných úhelníků s počtem stran větším než 5. Je tedy jasné, že víc platónských těles nemůže vzniknout.
Počet dokonalých těles v celém vesmíru je tedy pět.

Historie

Dokonalá tělesa byla lidem známa už od Starověku. Ve Skotsku byla objevena Platónská tělesa vytesaná z kamene (datovaná přibližně do roku 2000 př. n. l.) Některá z nich jsou označena čarami, které naznačují hrany pravidelného polyedru.

kamenná tělesa nalezená ve Skotsku

Platón
Pět polyedrů společně nese jméno řeckého filosofa Platóna (427 - 347 př. n. l.), který krychli, osmistěn, čtyřstěn a dvacetistěn považoval za představitele čtyř základních živlů (země, vzduch, oheň a voda) a dvanáctistěn byl představitel jsoucna, tedy všeho co existuje (nebo taky jednodušše vesmír).
Platón také tvrdil, že geometrické uspořádání nejmenších částic těchto čtyř elementů jsou pravidelné polyedry. Tady nebyl zase tak daleko od pravdy, jak už dnes díky moderním technologiím můžeme vědět. Tvar nanočástic se totiž opravdu velmi blíží tvaru pravidelných polyedrů.

Pythagorejci
Podobně jako Platón chápali Dokonalá tělesa také Pythagorejci. To byla skupina filosofů zformovaná kolem jejich učitele a otce Pythagora. Dokonalá tělesa umístili na špice pravidelného pentagramu, v jehož středu byl veškerý prostor.
Platónská tělesa podle Pythagorejců
Johannes Kepler

Další, kdo se jimi zabýval, byl matematik a astronom Johannes Kepler (1571 - 1630 n. l.) Napsal knihu Harmonices Mundi, ve které se mimo jiné věnuje pravidelným mnohostěnům. Sestavil také model Sluneční soustavy, ve kterém použil právě Platónská tělesa. Pokusil se mezi šest sfér tehdy známých těles umístit Platónská tělesa, která znázorňovala vzdálenost mezi nimi.

Keplerův model Sl. soustavy
Detailní pohled do vnitřní části modelu

Dualita Platónských těles

Na Dokonalých tělesech je zajímavá ještě jedna věc - jsou mezi sebou duální. Duální těleso lze sestrojit tak, že středy stěn původního tělesa budou vrcholy duálního tělesa. Dále platí, že jestliže mají-li dvě stěny původnáho tělesa společnou hranu, spojíme dva odpovídající vrcholy duálního tělesa taktéž hranou.

Dualita krychle a osmistěnu
Zajímavé je taky to, že když bysme chtěli udělat duální těleso od oktaedru, vyjde z toho zase krychle. Je to tedy vzájemná dualita.
Stejně tak jako hexaedr a oktaedr, jsou duální taky ikosaedr a dodekaedr. Černou ovcí zůstývý tetraedr, který je duální sám se sebou.
Dualita Platónských těles

Platónská tělesa v přírodních vědách

V dnešních přírodních vědách jako je chemiie, krystalografiie, krystalochemiie a molekulární fyzika se Platónská tělesa objevují zcela běžně např. v podobě krystalů. Třeba krystaly kuchyňské soli mají tvar krychle, u sfaleritu je to někdy čtyřstěn apod.

Molekuly také někdy nabývají tvaru pravidelného polyedru. Například metan, tvořený čtyřmi atomy vodíku (vrcholy tetraedru) a jedním atomem uhlíku v těžišti, nebo hexafluorid sírový, který je tvořen šesti atomy fluoru (vrcholy oktaedru) a jedním atomem síry v těžišti.

molekula metanu CH4 a hexafluoridu sírového SF6

Také nanočástice mají velmi často pravidelný tvar:
fotografie tvarů nanočástic
_________________________________________________________________________________________

A nazávěr ještě proč jsem o tomhle tématu vlastně napsala tak vyčerpávající článek. Platónská tělesa mě fascinovala hned od začátku. Už jen to, že jsou to dokonalá tělesa a že jich je jen pět - to je naprosto něco úžasného. Začala jsem se o ně proto zajímat víc.
Hned od začátku jsem je taky začala brát, spíš než neurčitá tělesa, jako osobnosti s vlastní povahou. Nevím proč, ale moje pocity k nim jsou skoro takové, jakoby to byli živé bytosti.
Můj nejoblíbenější z těchto polyedrů je čtyřstěn. Od začátku jsem s ním nějakým způsobem měla dost společného. Jako jediný nemá svůj duální protějšek a působí tak trochu opuštěně, uzavřen do sebe. Je to trochu outsider, ale svůj. Osmistěn je mi taky moc sympatický. Je to představitel vzduchu, mého živlu. Připadá mi tichý a nekonfliktní, s obrovskou hlavou plnou nápadů. Krychle je přízemní a dost omezená v názorech, možná trochu přímočará a prostořeká. Je přátelská a snadno navazuje kontakty. Je dost pozitivní. Dvanáctistěn, narozdíl od Ikosaedru, nestojí v centru pozornosti. Je to trochu otloukánek, který zatím nenašel způsob jak se odpoutat od Dvacetistěnu, kterému dělá tak trochu ocásek. Dvacetistěn je neskutečně elegantní a rád se předvádí. Má kolem sebe zvláštní neprůstřelnou bariéru. Nic ho nevyvede z míry.

V textu byly použity informace z těchto zdrojů:
matfyz.eu
 


Komentáře

1 Petr Petr | Web | 25. března 2014 v 9:24 | Reagovat

Bezva článek, fascinující, taky bych měl něco podobného sepsat (y)
Chci upozornit, že se ti tady neobjevuje jeden obrázek-Johannes Kepler: Harmonices Mundi.. (mám na webnode taky takovej problém, nesežrala bys to?) a ve větě "Molekuly také někdy nabývají tvaru pravydelného polyedru" máš chybu -předpokládám že to budeš chtít opravit.. víc jsem toho nepostřehl :'D

2 Mlok Mlok | Web | 25. března 2014 v 14:10 | Reagovat

[1]: Díky a jsem ráda, že se článek líbil.

3 helena helena | 10. prosince 2014 v 16:36 | Reagovat

[1]:Ahojky, Petře. Líbí se Ti tento článek? Možná by se Ti líbila i knížka Posvátná geometrie platónských těles - měla by být v síti knihkupectví - zkus..
Jinak autorce článku také děkuji - je vidět, že je citlivá, vnímavá, tvůrčí, chytrá..

Nový komentář

Přihlásit se
  Ještě nemáte vlastní web? Můžete si jej zdarma založit na Blog.cz.